The initial form of the grains of gold found in the nature in most cases is a flat plate (a scaly form). However, during pneumoseparation, the toroidal shape of pieces of gold is often found and considered to be the most effective. Thus the task of estimating time of formation of a toroidal piece of gold is important. In the paper, we consider the evolution of the surface of a flat disk of malleable metal deformed by isotropic bombing with fine particles and develop a mathematical model of this evolution. We obtain a differential equation describing the change of the deformed surface of a round disk which is solved then by a Runge–Kutta method. Studying the solution of the equation, we found that the body rather quickly reaches the most stable toroidal form when the deformed surface gets its maximal value and then a slower transformation of the surface into the sphere follows. We estimate the time of formation of a toroid from a disk with certain parameters of the considered system. The received results could be used for developing more exact models of evolution of flat bodies bombed with fine particles. Keywords: mathematical model, differential equation, deformed surface, toroid, enrich.
При математическом моделировании процессов, происходящих в устройствах обогащения полезных ископаемых, появляются задачи определения вероятности местонахождения частицы на рабочих поверхностях устройств. В настоящей работе для решения подобной задачи предлагается статистический подход, т. е. при определении вероятности используется идея метода Гиббса. Рассмотрены проблемы моделирования процессов, происходящих в воздушном винтовом сепараторе. Разработаны математическая модель винтовой поверхности пневмосепаратора, модели движения частицы, потока невзаимодействующих частиц по рабочей поверхности сепаратора и алгоритм определения концентрации потока частиц. Рассчитанное распределение концентрации невзаимодействующих частиц на рабочей поверхности устройства отождествляется с распределением вероятности местонахождения одной частицы. Разработанный алгоритм определения вероятности положения частицы на рабочей поверхности пневмосепаратора может быть использован как элемент более сложной математической модели, например модели, где учитываются взаимодействия между частицами.
In mathematical modeling of mineral processing, there arise problems of determining the probability of the particle presence on the working surfaces of devices. In the paper, we propose a statistical approach to solving such problem, i. e., the idea of the Gibbs method is used. We consider problems of modeling processes in an air spiral separator. A mathematical model of the spiral surface of a pneumoseparator, a model of particle motion, a flux of noninteracting particles along the separator working surface, and an algorithm for determining the particle flux concentration are developed. The calculated distribution of the noninteracting particles concentration on the working surface of the device is identified with the probability distribution of the location of one particle. The developed algorithm for determining the probability of position of a particle on the working surface of the pneumoseparator can be used as an element of a more complex mathematical model, for example, a model where interactions between particles are taken into account.

Моделирование динамики формы плоского тела из ковкого металла при изотропной бомбардировке частицами песка / А. И. Матвеев, Д. А. Осипов, Д. Р. Осипов, Б. В. Яковлев // Математические заметки СВФУ. – 2018. – Т. 25, N 1 (97), январь-март. – C. 90-95.

Первоначальная форма зерен золота, встречающихся в природе, в большинстве случаев имеет форму плоской пластины (чешуйчатую форму). Поэтому при пневмосепарации часто наблюдается торовидная форма кусков золота. При сепарировании форма зерен в виде тора считается наиболее эффективной, тем самым актуальна задача расчета времени образования торовидной формы куска золота. В настоящей работе рассматривается эволюция деформируемой поверхности плоского диска из ковкого металла при изотропной бомбардировке его поверхности мелкими частицами. Разработана математическая модель эволюции поверхности диска. Получено дифференциальное уравнение, описывающее изменение деформируемой поверхности круглого диска, которое решается численным методом Рунге — Кутты. Решение уравнения описывает деформируемую поверхность тела в зависимости от времени. Из результатов исследования следует, что наиболее устойчивой торовидной формы, при которой деформируемая поверхность достигает максимального значения, тело достигает достаточно быстро, затем наступает более медленное изменение поверхности до шаровидной формы. Оценено время образования торовидной формы диска при определенных параметрах исследуемой системы. Результаты могут быть использованы при разработках более точных моделей эволюции плоских тел при бомбардировке их поверхности мелкими частицами.
The initial form of the grains of gold found in the nature in most cases is a flat plate (a scaly form). However, during pneumoseparation, the toroidal shape of pieces of gold is often found and considered to be the most effective. Thus the task of estimating time of formation of a toroidal piece of gold is important. In the paper, we consider the evolution of the surface of a flat disk of malleable metal deformed by isotropic bombing with fine particles and develop a mathematical model of this evolution. We obtain a differential equation describing the change of the deformed surface of a round disk which is solved then by a Runge–Kutta method. Studying the solution of the equation, we found that the body rather quickly reaches the most stable toroidal form when the deformed surface gets its maximal value and then a slower transformation of the surface into the sphere follows. We estimate the time of formation of a toroid from a disk with certain parameters of the considered system. The received results could be used for developing more exact models of evolution of flat bodies bombed with fine particles. Keywords: mathematical model, differential equation, deformed surface, toroid, enrich.

Моделирование динамики формы плоского тела из ковкого металла при изотропной бомбардировке частицами песка / А. И. Матвеев, Д. А. Осипов, Д. Р. Осипов, Б. В. Яковлев. – Текст : непосредственный // Математические заметки СВФУ. – 2017. – Т. 24, N 1 (93) январь-март. – C. 99-108.

Представлена математическая модель движения тяжелых частиц в окружении зерен в отсадочной машине. Зерна моделируются шарами определенного радиуса. Рассмотрен статистический подход для описания процесса. При этом используется модель движения броуновской частицы, в котором вместо кинетической энергии хаотического теплового движения молекул, бомбардирующих броуновскую частицу, учитывается кинетическая энергия зерен, окружающих рассматриваемое зерно тяжелой частицы и движущихся под воздействием вибрирующей силы отсадочной машины. Эта сила зависит от амплитуды и частоты, то есть параметров циклов отсадки. В результате математического моделирования получено уравнение типа Фоккера-Планка для фракций, распределяемых по плотности в камере отсадочной машины. Получены динамические кривые распределения тяжелых зерен по высоте постели.

Математическое моделирование процесса концентрации тяжелых частиц в постели отсадочной машины / Е. С. Слепцова, Л. В. Никифорова, Б. В. Яковлев, А. И. Матвеев // Горный информационно-аналитический бюллетень. – 2014. – N 10. – C. 239-245.

Одним из эффективных методов сепарации тяжелых зерен в сыпучей среде, например, золота, является гравитационная отсадка. В работах по моделированию процесса отсадки используется теория броуновской частицы, где решается уравнение типа ФоккераПланка, но в них фактически не учитывается взаимодействие частиц полезной фракции между собой. Экспериментальным путем определены параметры, учитывающие взаимодействие этих частиц, полученные математическим моделированием процесса. В качестве исследуемого материала берется магнетик, содержащийся в природном песке. Этот материал (тяжелая фракция) имеет большую плотность, чем песок (приблизительно 1,2 раза). Тяжелая фракция разделяется из песка с помощью постоянного магнита. В результате исследований получены теоретические распределения концентрации магнетика по высоте объема устройства адаптированные с экспериментальными данными. Исследования проведены при различных условиях: сухая смесь, жидкая смесь, различные режимы работы вибратора. Полученные распределения позволяют при определенных заданных начальных условиях (например, при определенном процентном отношении тяжелой фракции от общего объема песка) вычислить вероятное время, за которое образуется некоторый заданный слой материала на дне емкости отсадочной постели с определенной концентрацией полезной фракции. Результаты исследования показали, что градиентная сила со временем увеличивается, а сила сопротивления среды наоборот убывает, если в начальный момент времени вся полезная (тяжелая) фракция находилась на верхней части массы песка.
One of efficient methods to separate heavy grains from granular material, for instance, gold, is gravity jigging. The known approaches to jigging modeling use the Brownian particle theory and solve the Fokker-Planck equation. The interaction between particles of useful fraction is neglected in this case. The present article is focused on determination of parameters which take into account such interaction. The theoretically modeled parameters are later on found experimentally. The test material is chosen to be magnetic substance contained in natural sand. This material (heavy particles) have higher density than sand (by a factor of 1.2 approximately). The heavy particles are separated from sand using permanent magnet. As result of the research, theoretical distributions of the magnetic substance concentrations along the height of a test container are obtained and adapted to experimental data. The tests are carried out in varied conditions: dry mix, liquid mix, varied vibration regimes. The resultant distributions, given the preset initial conditions (e.g. definite percentage of heavy particles and total sand volume), enable calculating time of formation of a preset material layer with the certain concentration of useful fraction on the bottom of the settlement container. The research findings show that the gradient force grows in time while the medium resistance decreases vice versa in case that all useful fraction (heavy particles) is at the top of the sand contained at the initial time

Исследование распределения тяжелых фракций в колеблющейся сыпучей среде / Е. С. Слепцова, Б. В. Яковлев, А. И. Матвеев. – Текст : непосредственный // Горный информационно-аналитический бюллетень. – 2018. – N 9. – C. 186-192.

Представлена математическая модель процесса отсадки. Используются статистический подход для описания процесса и теория броуновского движения. Получено уравнение типа Фоккера-Планка для фракций, помещенных в отсадочной машине. Рассчитаны распределения исследуемых зерен в различных случаях.
We present a mathematical model of jigging using the statical approach for describing the process and the theory of Brownian motion. The Fokker-Planck equation is obtained for fractions in a jigging machine. The distributions of the grainy rocks under study are calculated in various cases.

Математическое моделирование процесса отсадки / Л. В. Никифорова, А. И. Матвеев, Е. С. Слепцова, Б. В. Яковлев. – Текст : непосредственный // Математические заметки СВФУ. – 2014. – Т. 21, N 1, январь-март. – C. 106-112.

Статистический метод определения движения частицы в винтовом пневмосепараторе / И. Ф. Лебедев, С. Р. Крылова, Д. М. Гаврильев, Б. В. Яковлев. – Текст : непосредственный // Горный информационно-аналитический бюллетень. – 2018. – N 9. – C. 165-171.

Одним из эффективных методов сепарирования тяжелых зерен в сыпучей среде, например золотых зерен, является гравитационная отсадка. В известных работах по моделированию процесса отсадки используется теория броуновской частицы, где решается уравнение типа Фоккера-Планка. В них фактически не учитывается взаимодействие частиц полезной фракции между собой. Данная работа посвящена определению параметров, учитывающих взаимодействие этих частиц. Параметры, полученные математическим моделированием процесса, определены экспериментальным путем. В качестве исследуемого материала берется магнетик, содержащийся в природном песке. Этот материал (тяжелая фракция) имеет большую плотность, чем песок (приблизительно в 1,2 раза). Тяжелая фракция разделяется из песка с помощью постоянного магнита. В результате исследований получены теоретические распределения концентрации магнетика по высоте объема устройства адаптированные с экспериментальными данными. Исследования проведены при различных условиях: сухая смесь, жидкая смесь, различные режимы работы вибратора. Полученные распределения позволяют при определенных заданных начальных условиях (например, при определенном процентном соотношении тяжелой фракции от общего объема песка) вычислить вероятное время, за которое образуется некоторый заданный слой материала на дне емкости отсадочной постели с определенной концентрацией полезной фракции. Результаты исследования показали, что градиентная сила со временем увеличивается, а сила сопротивления среды, наоборот, убывает, если в начальный момент времени вся полезная (тяжелая) фракция находилась на верхней части массы песка.
One of the effective methods of separation of heavy grains in the loose environment, for example, of gold grains, is jigging. In the known works on modeling of process of jigging the theory of a Brownian particle is used where the equation like Fokker-Planck's one is solved. Most of the works do not consider interaction of particles of a useful fraction among themselves. This work is devoted to determination of parameters accounting the interaction of these particles. These parameters received by mathematical modeling of the process are determined experimentally. We considered a magnetic in natural sand. This material (heavy fraction) has bigger density than sand (about 1.2 times). The heavy fraction was separated from sand by a permanent magnet. As a result of the study theoretical distributions of the magnetic concentration along the device height adapted with the experimental data are received. The study was conducted under various conditions: dry mix, liquid mix, various operating modes of a vibrator. The received distributions allow under certain initial conditions (for example, at a certain percentage of heavy fraction from the total amount of sand) to calculate probable time for which some preset material layer at the bottom of a jigging machine with a certain concentration of useful fraction is formed. The results of the study have shown that gradient force increases over the time, and environment resistance force on the contrary decreases if at initial time all useful (heavy) fraction was in the top part of sand mass.

Исследование распределения тяжелых фракций в колеблющейся сыпучей среде / А. И. Матвеев, Л. В. Никифорова, Е. С. Слепцова, Б. В. Яковлев // Наука и образование. – 2016. – N 2 (82). – C. 21-26.

Экспериментальными исследованиями было установлено, что в процессе измельчения руд в центробежной мельнице ЦМВУ-800, частицы золота расковывают свои края и приобретают вид тора. В результате, у тонких частиц золота повышается гидравлическая крупность 2-2.5 раза. Представлены расчеты моделирования по определению оценки времени образования тороидной формы частиц золота в процессе измельчения, где было установлено, что тонкие пластины достаточно быстро принимают форму тороида, которые в последующем стремятся к преобразованию в сфероиды.
Experimental studies have shown that in the process of grinding ore in the centrifugal mill TSMVU-800 gold particles unfetters their edges and take the form of a torus. As a result, fine particles of gold increases the hydraulic size 2-2.5. The calculations to determine the simulation time of formation evaluation toroidal shape of the gold particles in the grinding process, where it was found that the thin plate sufficiently quickly take a donut shape and tend to form thickened ball.

Оценка времени образования торовидной формы золота в процессе измельчения / Д. А. Осипов, Б. В. Яковлев, В. Е. Филиппов, А. И. Матвеев // Горный информационно-аналитический бюллетень. – 2015. – N S30. – C. 234-243.

Теоретически рассмотрено движение частиц внутри винтового пневмосепаратора. На начальной стадии рассматривается вспомогательная модель: движение частицы по конической поверхности с данным углом полураствора под действием аксиального потока воздуха. В этом случае нормаль к поверхности конуса имеет две компоненты: радиальную и вертикальную. Разработанная модель позволяет найти закон движения частицы по конической поверхности. Чтобы получить винтовую поверхность усложняем модель, а именно, к компонентам нормали поверхности добавляем аксиальную третью компоненту. Тогда созданная нормаль будет описывать винтовую поверхность. В качестве рабочей поверхности пневмосепаратора выбрана винтовая поверхность с определенным углом раствора и аксиальным углом наклона. Движение частиц происходит только по рабочей поверхности. Зная закон движение для одной частицы, можно определить траектории и для системы невзаимодействующих частиц. Таким образом, в первом приближении для невзаимодействующих частиц можно определить концентрацию частиц на винтовой поверхности, как и в радиальном направлении, так и в вертикальной плоскости.
In this paper theoretically discusses the motion of particles inside the screw air separator. At the initial stage auxiliary model is considered: particle motion along a conical surface with a given angle under the action of the axiales flow of air. In this case the normal to the surface of the cone has two components: vertical and radial. Model allows to find the law of motion of a particle along a conical surface. To get the screw surface sophisticate model, namely, the components of the surface normal axial add a third component. Then set up will describe the normal helical surface. As the working surface of the spiral air separator is chosen with a specific surface of angle and axial angles. The particle motion occurs only at the working surface. Knowing the law of motion of a single particle, we can determine the trajectory for the system of non-interacting particles. Thus, in a first approximation for non-interacting particles the particle concentration can be determined on a screw surface, as well as in the radial direction and in the vertical plane.

Моделирование движения частиц в винтовом пневмосепараторе / А. И. Матвеев, И. Ф. Лебедев, Л. В. Никифорова, Б. В. Яковлев // Горный информационно-аналитический бюллетень. – 2014. – N 10. – C. 172-178.

Скрябин, Ю. Т. Моделирование движения пучка электронов плоского полевого эмиссионного катода с учетом пространственного заряда / Ю. Т. Скрябин, Б. В. Яковлев // Динамика сплошной среды. – 2004. – Вып. 122 : Доклады Всероссийской школы-семинара "Фундаментальные и прикладные проблемы физики на Севере", Якутск, 24-28 июня 2003. – С. 98-101.