Устанавливаются необходимые и достаточные условия того, чтобы решение параболического уравнения 2-го порядка в звездной области с боковой границей, принадлежащей классу вырождающегося на границе области, имело предел в среднем на боковой поверхности цилиндрической области и предел в среднем на ее нижнем основании, и исследуется вопрос об однозначной разрешимости первой смешанной задачи для такого уравнения в случае, когда граничная и начальная функции принадлежат пространствам типа. Наиболее близкими к рассматриваемому кругу вопросов являются теоремы Рисса и Литтлвуда и Пэли, в которых даются критерии предельных значений в, p > 1, аналитических в единичном круге функций. Эта тематика для равномерно эллиптических уравнений развивалась в работах В. П. Михайлова и А. К. Гущина. Как было показано И. М. Петрушко, условие гладкости границы () можно ослабить. При наиболее слабых ограничениях на гладкость границы (и на коэффициенты уравнения) критерии существования граничного значения установлены в работах А. К. Гущина. При этом все направления принятия граничных значений для равномерно эллиптических уравнений оказываются равноправными, решение обладает свойством, аналогичным свойству непрерывности по совокупности переменных. В случае вырождения уравнения на границе области, когда направления не являются равноправными, ситуация более сложная. При этом постановка первой краевой задачи определяется типом вырождения. В случае, когда значения соответствующей квадратичной формы вырождающегося эллиптического уравнения на векторе нормали отличны от нуля (вырождение типа Трикоми), корректна задача Дирихле, и свойства такого вырождающегося уравнения весьма близки к свойствам равномерно эллиптического уравнения. В частности, в этой ситуации справедливы аналоги теорем Рисса и Литтлвуда–Пэли.
We establish the necessary and sufficient conditions for the solution of the second-order parabolic equation in a stellar domain with a lateral boundary in the class degenerate on the boundary of the domain, to have an average limit on the lateral surface of the cylindrical domain and the limit in the mean on its lower base. Also, we study the unique solvability of the first mixed problem for such equations in the case when the boundary and initial functions belong to spaces of the type. The closest to the questions under consideration are the theorems of Riesz and Littlewood and Paley, in which criteria are given for the limit values in p > 1, of functions analytic in the unit disk. Further development of this topic for uniformly elliptic equations was obtained in the works V. P. Mikhailov and A. K. Gushchin. The boundary smoothness condition can be weakened, as was shown by I. M. Petrushko. Under the weakest restrictions on the smoothness of the boundary (and on the coefficients of the equation), the criteria for the existence of a boundary value were established in by A. K. Gushchin. In this case, all directions of the acceptance of boundary values for uniformly elliptic equations turn out to be equal, the solution has the property similar to the property of continuity with respect to the set of variables. In the case of degeneracy of the equation on the boundary of the domain, when the directions are not equal, the situation is more complicated. In this case, the formulation of the first boundary value problem is determined by the type of degeneracy. When the values of the corresponding quadratic form of the degenerate elliptic equation on the normal vector are different from zero (Tricomi type degeneracy), the Dirichlet problem is well-posed and the properties of such degenerate equations are very close to the properties of uniformly elliptic equations. In particular, in this situation analogues of the Riesz and Littlewood-Paley theorems are valid.

Работа посвящена изучению одного из разделов неклассических дифференциальных уравнений, а именно вопросов разрешимости для параболических уравнений с меняющимся направлением времени второго порядка. Известно, что в обычных краевых задачах для строго параболических уравнений гладкость начальных и граничных условий полностью обеспечивает принадлежность решений пространствам Гельдера, но в случае уравнений с меняющимся направлением времени гладкость начальных и граничных условий далеко не дает принадлежность решений этим пространствам. С.А. Терсеновым (для модельного параболического уравнения с меняющимся направлением времени) и С.Г. Пятковым (для более общего уравнения второго порядка) получены необходимые и достаточные условия разрешимости в Гельдеровых пространствах соответствующих смешанных задач. При этом начальные и краевые условия всегда предполагались нулевыми. Рассмотрены случаи, когда начальные и граничные условия принадлежат банаховым пространствам. Введены функциональные пространства, в которых надо искать решения. Получены соответствующие априорные оценки, позволяющие получать условия разрешимости указанных задач. Изучены свойства полученных решений. В частности, установлена эквивалентность условий Рисса и Литлвуда-Пэли, аналогичных условиям для решений строго эллиптических и строго параболических уравнений второго порядка. Доказана однозначная разрешимость первой смешанной задачи с граничными и начальными функциями из банахового пространства.
The article is devoted to studying one of the sections of nonclassical differential equations, namely, matters concerned with solvability of parabolic equations with changing second-order time direction. As is known, in ordinary boundary-value problems for strictly parabolic equations, the smoothness of the initial and boundary conditions completely ensures that the solutions belong to the Holder spaces, but in the case of equations with changing time direction, the smoothness of the initial and boundary conditions does not ensure that the solutions belong to these spaces. S.A. Tersenov (for a model parabolic equation with changing time direction) and S.G. Pyatkov (for a more general second-order equation) obtained the necessary and sufficient conditions for solvability of the corresponding mixed problems in Holder spaces. In so doing, they always assumed the initial and boundary conditions being equal to zero. Cases in which the initial and boundary conditions belong to Banach spaces are considered. The functional spaces in which the solutions must be sought are introduced. Relevant a priori estimates, which make it possible to obtain the solvability conditions for these problems, are obtained. The properties of the obtained solutions have been studied. In particular, the equivalence of the Riesz and Littlewood-Paley conditions similar to the conditions for solutions of strictly elliptic and strictly parabolic second order equations is established. A unique solvability of the first mixed problem with boundary and initial functions from the Banach space has been proved.

Исследуется класс основных функций ф+ построенный по принципу пространств Лизоркина на основе смешанного преобразования Фурье - Киприянова - Катрахова. Первоначально такие классы функций, построенные на основе смешанного преобразования Фурье Бесселя, исследовались Л. Н. Ляховым. Введенные им пространства не могли учитывать "нечетные" порядки сингулярных производных. Но последние оказались принципиально необходимы в задачах определения фундаментальных решений дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных). Интегральное преобразование Киприянова - Катрахова (принадлежит классу преобразований Бесселя) приспособлено для работы с сингулярным дифференциальным операторам типа D(2m/B)+k d(k)/dxk B(m/x) где k принимает значения 0 или 1, а B m/x сингулярный дифференциальный оператор Бесселя, порядок дифференцирования равен 2m. Пространства основных функций, представляющие собой образы смешанного преобразования Фурье - Киприянова - Катрахова функций, исчезающих в начале координат и на бесконечности, рассмотрены в данной работе. Изучается возможность приближения функций из весовых классов Лебега L y/p со степенным весом П |x/i| yi именно, доказана теорема о плотности ф y/+ в пространстве функций Лебега.
We study the class of test functions constructed on the principle of Lizorkin spaces by means of mixed Fourier-Kipriyanov-Katrakhov transform. Initially, such classes of functions, constructed on the basis of a mixed Fourier-Bessel transform, were investigated by L. N. Lyakhov. The spaces introduced by him could not take into account “odd” orders of singular derivatives. But the latter appeared to be fundamentally necessary in the problems of determining the fundamental solutions of differential equations (ordinary and in partial derivatives). The integral Kipriyanov-Katrakhov transform (belonging to the class of Bessel transforms) is adapted to work with singular differential operators of the type where k takes values 0 or 1, is a singular differential Bessel operator and the order of differentiation is 2m. The spaces of the basic functions that represent the images of the mixed Fourier-Kipriyanov-Katrakhov transform of functions vanishing at the origin and infinity are considered in this paper. We study the possibility of approximating functions from weighted Lebesgue classes with power weight namely, the density theorem in the Lebesgue function space.

Рассматривается математическая модель совместной прокладки сетей водопровода и квартальных тепловых сетей. Целью статьи является исследование влияния излучения на процесс сложного теплообмена, происходящего в кожухе теплоизоляции между элементами конструкции. Приведены результаты математического моделирования тепловых потерь с учетом лучистой составляющей. При расчете тепловых потоков, которые теряет трубопровод при транспортировке теплоносителя через тепловую изоляцию, обычно учитывается процесс передачи теплоты путем теплопроводности и конвекции. Лучистой составляющей при этом в большинстве случаев пренебрегают. Особенно заметно влияние теплопередачи путем лучеиспускания и конвекции при использовании теплоизоляционных изделий с крупными порами, воздушными прослойками. Рассматривается наземная конфигурация трубопровода и водопровода, уложенного в общую тепловую изоляцию, изготовленную из минеральной ваты. При совместной прокладке трубопроводов происходит сложный лучистый теплообмен, который состоит для любого, одного из этих трубопроводов из излучения отраженного от другого трубопровода и собственного излучения. Рассчитывается нестационарное температурное поле конструкции, состоящей из двух параллельно уложенных трубопроводов с разными диаметрами, лежащих в общей теплоизоляционной конструкции, изготовленной из минеральной ваты. Элементы конструкции обмениваются теплом между собой и окружающей средой посредством конвекции и излучения.
This paper considers a mathematical model of joint laying of water pipeline networks and district heat networks. The purpose of the work is to study the effect of radiation on the process of complex heat exchange taking place in the housing insulation between structural elements. The results of mathematical simulation of the heat loss taking into account the radiant component are given. When calculating the heat flows which are lost in the pipeline through thermal insulation at transporting the coolant, the heat transfer process is usually considered by means of conduction and convection. The radiant component is neglected in most cases. The influence of heat transfer by radiation and convection is particularly noticeable using thermal insulation products with large pores and air gaps. A ground configuration of a pipe line and water pipe line laid in a joint thermal insulation made of mineral wool is considered. When laying joint pipelines, complex radiative heat transfer occurs. It consists, for each one of these pipelines, of radiation reflected from the other pipeline and self-radiation. A non-stationary temperature field of the structure, consisting of two parallel stacked pipes with different diameters lying in a joint insulating structure made of mineral wool, is calculated. The construction elements exchange heat with each other and the environment by convection and radiation.

Изучена математическая модель равновесия двумерного упругого тела с двумя взаимно пересекающимися трещинами. Одна из трещин предполагается прямолинейной, а вторая — криволинейной. На обеих кривых, задающих трещины, ставятся условия непроникания в виде неравенств. Проводится анализ зависимости решений семейства вариационных задач от параметра, характеризующего вариацию длины прямолинейной трещины. Доказано существование решения задачи оптимального управления. Для этой задачи функционал качества определен с помощью функционала Гриффитса, характеризующего возможность развития трещины вдоль заданной кривой. Параметр управления задает изменение длины прямолинейной трещины.
A mathematical model describing an equilibrium of cracked two-dimensional bodies with two mutually intersecting cracks is considered. One of these cracks is assumed to be straight, and the second one is described with the use of a smooth curve. Inequality type boundary conditions are imposed at the both cracks faces providing mutual non-penetration between crack faces. On the external boundary, homogeneous Dirichlet boundary conditions are imposed. We study a family of corresponding varia-tional problems which depends on the parameter describing the length of the straight crack and analyze the dependence of solutions on this parameter. Existence of the solution to the optimal control problem is proved. For this problem, the cost functional is defined by a Griffith-type functional, which characterizes a possibility of curvilinear crack propagation along the prescribed path. Meanwhile, the length parameter of the straight crack is chosen as a control parameter.

Исследовано существование левосторонних, правосторонних и двусторонних обратных матриц для так называемых гауссовых бесконечных матриц, т. е. для верхних бесконечных треугольных матриц с отличными от нуля элементами на главной диагонали. Доказано существование единственной двусторонней обратной матрицы для гауссовых матриц. Найдено явное выражение обратной матрицы для гауссовой матрицы любого порядка, в частности, и для бесконечного случая. Данное выражение удобно для его реализации на ПК, поскольку вычисления основаны на рекуррентных соотношениях. Такой подход можно распространить и для так называемых треугольных бесконечных матриц, т. е. для нижних бесконечных треугольных матриц с отличными от нуля элементами на главной диагонали. Таким образом, появляется возможность обращения бесконечной матрицы с бесконечным рангом, поскольку такие матрицы разлагаются на произведение двух матриц: треугольной и гауссовой матриц.
We study existence of the left inverse, right inverse and inverse of Gaussian infinite matrices (those are the upper infinite triangular matrices with nonzero elements on the main diagonal). The existence of a unique inverse of the Gaussian matrix is proved. Also, an explicit expression for the inverse of the Gaussian matrix of any order is found, including the infinite case. Implementation of this expression is very convenient, since calculations are based on recurrence relations. Such approach can be extended to triangular infinite matrices (those are the lower infinite triangular matrices with nonzero elements on the main diagonal). Thus, there is the possibility of inversion of an infinite matrix of infinite rank, since such matrices decompose into the product of two matrices, a triangular and a Gaussian.

Исследована разрешимость обратных задач нахождения вместе с решением u(x,t) также коэффициента q(x) в уравнении (-1)m+1 d2m+1u dt2m+1 + Au + pu f (x, t) + q(x)h(x, t) (x € £2, где £2 — ограниченная область пространства Rn переменных xi,... ,xn, t € (0,T), 0 < T < +ro, f(x,t) и h(x,t) — заданные функции, p — заданное действительное число, m — заданное натуральное число, A — оператор Лапласа, действующий по пространственным переменным). В качестве дополнительного условия (необходимость которого обусловлена наличием дополнительной неизвестной функции q(x)) в работе используется условие граничного (при t = 0 или t = т) переопределения. Для изучаемых задач доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений (имеющих все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в уравнение).
We study solvability of the inverse problems for finding both the solution u(x,t) and the coefficient q(x) in the equation d2m+iu (~l)m+1 dt2m+l +Ац + МЦ = f{x,t)+q{x)h{x,t), where x = (xi,...,xn) € fi, fi is a bounded domain in t € (0,T), 0 < T < +ro, f (x,t) and h(x,t) are given functions, p is a given real, m is a given natural, and A is the Laplace operator acting in spatial variables. As an additional condition (which is necessary due to presence of the additional unknown function q(x)), the boundary overdetermination condition is used in the article (with t = 0 or t = T). For the problems under study, the existence and uniqueness theorems for regular solutions are proved (all derivatives are the Sobolev generalized derivatives).

Представлена математическая модель процесса отсадки. Используются статистический подход для описания процесса и теория броуновского движения. Получено уравнение типа Фоккера-Планка для фракций, помещенных в отсадочной машине. Рассчитаны распределения исследуемых зерен в различных случаях.
We present a mathematical model of jigging using the statical approach for describing the process and the theory of Brownian motion. The Fokker-Planck equation is obtained for fractions in a jigging machine. The distributions of the grainy rocks under study are calculated in various cases.

Теоретически рассмотрено движение частиц внутри винтового пневмосепаратора. На начальной стадии рассматривается вспомогательная модель: движение частицы по конической поверхности с данным углом полураствора под действием аксиального потока воздуха. В этом случае нормаль к поверхности конуса имеет две компоненты: радиальную и вертикальную. Разработанная модель позволяет найти закон движения частицы по конической поверхности. Чтобы получить винтовую поверхность усложняем модель, а именно, к компонентам нормали поверхности добавляем аксиальную третью компоненту. Тогда созданная нормаль будет описывать винтовую поверхность. В качестве рабочей поверхности пневмосепаратора выбрана винтовая поверхность с определенным углом раствора и аксиальным углом наклона. Движение частиц происходит только по рабочей поверхности. Зная закон движение для одной частицы, можно определить траектории и для системы невзаимодействующих частиц. Таким образом, в первом приближении для невзаимодействующих частиц можно определить концентрацию частиц на винтовой поверхности, как и в радиальном направлении, так и в вертикальной плоскости.
In this paper theoretically discusses the motion of particles inside the screw air separator. At the initial stage auxiliary model is considered: particle motion along a conical surface with a given angle under the action of the axiales flow of air. In this case the normal to the surface of the cone has two components: vertical and radial. Model allows to find the law of motion of a particle along a conical surface. To get the screw surface sophisticate model, namely, the components of the surface normal axial add a third component. Then set up will describe the normal helical surface. As the working surface of the spiral air separator is chosen with a specific surface of angle and axial angles. The particle motion occurs only at the working surface. Knowing the law of motion of a single particle, we can determine the trajectory for the system of non-interacting particles. Thus, in a first approximation for non-interacting particles the particle concentration can be determined on a screw surface, as well as in the radial direction and in the vertical plane.

Данная статья описывает приемы формирования математической грамотности на уроках математики. Будет полезна в первую очередь молодым специалистам. Автор раскрывает возможности содержания заданий, напечатанных в учебниках математики, направленных на формирование математической грамотности у обучающихся.